Question

19．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l被曲線C截得的弦為AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，求出A、B的坐標(biāo)，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為2x-y-1=0．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l被曲線C截得的弦為AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{17}}\\{y=\frac{15}{17}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{16}{17}+0）^{2}+（\frac{15}{17}+1）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．