Question

15．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足b²-a²=ac，則$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的取值范圍為（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)余弦定理得到c=2acosB+a，再根據(jù)正弦定理和兩角和差正弦公式可得sinA=sin（B-A），根據(jù)三角形為銳角三角形，求得B=2A，以及A，B的范圍，再利用商的關(guān)系、兩角差的正弦公式化簡所求的式子，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出所求式子的取值范圍．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+ac，
∴c=2acosB+a，
∴sinC=2sinAcosB+sinA，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin（B-A），
∵三角形ABC為銳角三角形，
∴A=B-A，
∴B=2A，
∴C=π-3A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$
∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），B∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
∴$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$=$\frac{sin（B-A）}{sinBsinA}$=$\frac{1}{sinB}$，
∵B∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
∴sinB=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\frac{1}{sinB}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的范圍為（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故答案為：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

點評 本題考查了正弦定理，三角恒等變換中公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，涉及知識點多、公式多，綜合性強，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．