Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，AB⊥BB₁，AB=BC=2，BB₁=4，∠BCC₁=60°．
（I）求證：C₁B⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出C₁B⊥AB，C₁B⊥BC，從而C₁B⊥平面ABC，由此能證明C₁B⊥AC．
（Ⅱ）以B為原點，BC₁為x軸，BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-B₁C-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，AB⊥BB₁，
AB=BC=2，BB₁=4，∠BCC₁=60°
∴AB⊥平面BB₁C₁C，∴C₁B⊥AB，
C₁B=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}-2×4×2×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴C₁B²+BC²=C₁C²，∴C₁B⊥BC，
∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴C₁B⊥AC．
解：（Ⅱ）以B為原點，BC₁為x軸，BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2），B₁（2$\sqrt{3}$，-2，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，-2），
設平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2\sqrt{3}x-2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，3，3），
平面B₁CB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角A-B₁C-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{30}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴二面角A-B₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．