Question

10．AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點．
（1）試判斷直線DE與平面VBC的位置關系，并說明理由；
（2）若已知AB=VC=2，當三棱錐V-ABC體積最大時，求點C到面VBA的距離．

Answer 1

分析 （1）由D、E分別為VA、VC的中點得到DE∥AC，由已知條件證出AC⊥平面VBC，從而問題得證；
（2）設BC=b，AC=b，則a²+b²=4，$V=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}ab•2=\frac{1}{3}ab$，利用基本不等式，求出體積最大時$AC=BC=\sqrt{2}$，$AV=BV=\sqrt{6}$，△VAB面積為$\sqrt{5}$，由等體積法求點C到面VBA的距離．

解答 解：（1）證明：∵AC⊥BC，VC⊥AC，
∴AC⊥面VBC，
∵D、E分別為VC、VA中點，
∴DE∥AC，
∴DE⊥面VBC…（5分）
（2）設BC=b，AC=b，則a²+b²=4，$V=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}ab•2=\frac{1}{3}ab$，
∴$V≤\frac{1}{3}•\frac{1}{2}（{{a^2}+{b^2}}）=\frac{2}{3}$當且僅當$a=b=\sqrt{2}$時取等號
∴體積最大時$AC=BC=\sqrt{2}$…（9分）$AV=BV=\sqrt{6}$，△VAB面積為$\sqrt{5}$，
設所求的距離為d，由等體積法知$d=\frac{3V}{S}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了三棱錐V-ABC體積的計算，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．