Question

15．若圓x²+y²-2x+4y+1=0上至少有兩個點到直線2x+y-c=0的距離等于1，則實數c的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，3\sqrt{5}）$
• B． $[-\sqrt{5}，\sqrt{5}]$
• C． $（-3\sqrt{5}，3\sqrt{5}）$
• D． $（0，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和圓的半徑，用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，畫出圖象，根據圖象和題意列出關于d的不等式，求出不等式的解集即可得到c的取值范圍．

解答 解：把圓的方程化為標準方程得：（x-1）²+（y+2）²=4，
得到圓心坐標為（1，-2），半徑r=2，
根據題意畫出圖象，如圖所示：
因為圓心到直線2x+y-c=0的距離d=$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$，
根據圖象可知：當0≤d＜3時，
圓上至少有兩個點到直線2x+y+c=0距離等于1，
即0≤$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$＜3，
解得，$-3\sqrt{5}$＜c＜3$\sqrt{5}$，
則滿足題意的c的取值范圍是（-3$\sqrt{5}$，3$\sqrt{5}$），
故選：C．

點評 本題考查圓上的點到直線距離問題，點到直線的距離公式，解題關鍵是通過圖象找出圓心到已知直線的距離的取值范圍，考查了數形結合的數學思想．