Question

11．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅰ）設(shè)不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（Ⅱ）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|MP|=|OP|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （ I）通過切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，設(shè)直線方程x+y=a，求出圓的圓心與半徑，利用相切關(guān)系列出方程求解即可．
（ II）利用已知條件，切線PM與半徑CM垂直，通過PM|²=|PC|²-|CM|²=|OP|²，求解點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+3=0．

解答 解：（ I）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，
設(shè)直線方程x+y=a，
∵由圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，得：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心坐標(biāo)C（-1，2），半徑r=$\sqrt{2}$，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓半徑$\sqrt{2}$，
即：$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$
∴a=-1或a=3，
所求切線方程為：x+y+1=0或x+y-3=0；
（ II）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²=|OP|²
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²
所以點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力．