Question

6．若$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 根據$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$，進而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$，從而可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$2-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．
故選B．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍．