Question

13．已知，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=4EF=4ED=4，EF∥AD，AF=$\sqrt{2}$，M、N分別為線段AB、DE的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCEF；
（Ⅱ）求證：平面ADEF⊥平面DEB；
（Ⅲ）若MN=4，求直線MN與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EC的中點(diǎn)G，連接GB，GN，推導(dǎo)出四邊形MBGN是平行四邊形，從而MN∥GB，由此能證明MN∥平面BCEF．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AD⊥BD，⊥DE，從而AD⊥平面DEB，由此能證明平面ADEF⊥平面DEB．
（Ⅲ）取BD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH∥AD，∠MNH為直線MN與平面BDE所成的角，由此能出直線MN與平面BDE所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取EC的中點(diǎn)G，連接GB，GN，
∵EN=DN，∴NG∥DC，且NG=$\frac{1}{2}$DC，
又∵AM=BM，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴NG∥MB，且NG=MB，
∴四邊形MBGN是平行四邊形，∴MN∥GB，
又∵BG?平面BCEF，MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．
（Ⅱ）在△ADB中，∵∠DAB=60°，AB=2AD，∴AD⊥BD，
在梯形ADEF中，∵AD=2EF=2DE=2，AF=$\sqrt{2}$，
∴AD⊥DE，又∵DE∩DB=D，
∴AD⊥平面DEB，
又∵AD?平面ADEF，
∴平面ADEF⊥平面DEB．
解：（Ⅲ）取BD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH∥AD，
由（Ⅱ）得AD⊥平面DEB，∴MH⊥平面DEB，
∴NH是MN在平面DEB上的射影，且MH⊥NH，
∴∠MNH為直線MN與平面BDE所成的角，
在Rt△MNH中，MH=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴sin$∠MNH=\frac{MH}{MN}=\frac{1}{4}$，
∴直線MN與平面BDE所成角的正弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．