Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{2^n}\;，\;\;{T_n}$為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（3）設(shè)c_n=4ⁿ+（-1）_n-1λ•2^a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定實(shí)數(shù)λ的值，使得對(duì)任意的n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析 （1）S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+1，可得a_n+1=a_n+1（n≥2）．又a₂-a₁=1，即可證明{a_n}為等差數(shù)列．
（2）${b_n}=\frac{n+1}{2^n}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（3）${c_n}={4^n}+{（-1）^{n-1}}λ•{2^{n+1}}$，c_n+1＞c_n．對(duì)n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+1，
∴a_n+1=a_n+1（n≥2）．
又a₂-a₁=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，且a_n=n+1．
（2）解：${b_n}=\frac{n+1}{2^n}$${T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n+1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=3-（n+3）\frac{1}{2^n}$．
（3）解：${c_n}={4^n}+{（-1）^{n-1}}λ•{2^{n+1}}$，c_n+1＞c_n．
①當(dāng)n為偶數(shù)，4ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺²＞4ⁿ-λ•2ⁿ⁺¹，3λ•2ⁿ⁺¹＞-3•4ⁿ，
∴λ＞-2^n-1，n=2，4，6，…
∴λ＞-2．
②當(dāng)n為奇數(shù)，4ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺²＞4ⁿ+λ•2ⁿ⁺¹，
3λ•2ⁿ⁺¹＜3•4ⁿ，
∴λ＞-2^n-1n=1，3，5，…
∴λ＜1．
∴-2＜λ＜1，λ≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．