Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，在x=0處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知點A（2，m），求過點A的曲線y=f（x）的切線條數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=f′（-1）=0，f′（0）=-3，解方程可得a，b，c，進而得到f（x）的解析式；
（2）設(shè)切點為（t，t³-3t），求得f′（x）=3x²-3，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程，代入A的坐標(biāo)，整理可得m=-2t³+6t²-6．設(shè)g（t）=-2t³+6t²-6，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，畫出y=g（t）的圖象，討論m的范圍，即可得到所求切線的條數(shù)．

解答 解�。�1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f′（-1）=3a-2b+c=0}\\{f′（0）=c=-3}\end{array}\right.$，
解方程可得a=1，b=0，c=-3．
所以f（x）=x³-3x．
（2）設(shè)切點為（t，t³-3t），由（1）知f′（x）=3x²-3，
所以切線斜率k=3t²-3，
切線方程為y-（t³-3t）=（3t²-3）（x-t）．
又切線過點A（2，m），代入得m-（t³-3t）=（3t²-3）（2-t），
解得m=-2t³+6t²-6．
設(shè)g（t）=-2t³+6t²-6，令g′（t）=0，即-6t²+12t=0，解得t=0或t=2．
當(dāng)t變化時，g′（t）與g（t）的變化情況如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	-	0	+	0	-
g（t）	↘Φ	極小值	↗Γ	極大值	↘Φ

所以g（t）的極小值為g（0）=-6，極大值為g（2）=2．
作出函數(shù)草圖可知：
①當(dāng)m＞2或m＜-6時，方程m=-2t³+6t²-6只有一解，即過點A只有一條切線；
②當(dāng)m=2或m=-6時，方程m=-2t³+6t²-6恰有兩解，即過點A有兩條切線；
③當(dāng)-6＜m＜2時，方程m=-2t³+6t²-6有三解，即過點A有三條切線．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．