Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為m．
（Ⅰ）求m的值以及此時(shí)的x的取值范圍；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)p，q，r滿足p²+2q²+r²=m，證明：q（p+r）≤2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值不等式，求出m的值，當(dāng)且僅當(dāng)（x+3）（x-1）≤0，即可求出此時(shí)的x的取值范圍；
（Ⅱ）利用（p²+q²）+（q²+r²）=4≥2pq+2qr，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：依題意，得f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4，故m的值為4．
當(dāng)且僅當(dāng)（x+3）（x-1）≤0，即-3≤x≤1時(shí)等號成立，即x的取值范圍為[-3，1]．
（Ⅱ）證明：因?yàn)閜²+2q²+r²=m，故（p²+q²）+（q²+r²）=4．
因?yàn)閜²+q²≥2pq，當(dāng)且僅當(dāng)p=q時(shí)等號成立，q²+r²≥2qr，當(dāng)且僅當(dāng)q=r時(shí)等號成立，
所以（p²+q²）+（q²+r²）=4≥2pq+2qr，故q（p+r）≤2，當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r時(shí)等號成立．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．