Question

16．某同學在研究性學習中，關于三角形與三角函數知識的應用（約定三內角A、B、C所對的邊分別是a，b，c）得出如下一些結論：
（1）若△ABC是鈍角三角形，則tanA+tanB+tanC＞0；
（2）若△ABC是銳角三角形，則cosA+cosB＞sinA+sinB；
（3）在三角形△ABC中，若A＜B，則cos（sinA）＜cos（tanB）
（4）在△ABC中，若$sinB=\frac{2}{5}，tanC=\frac{3}{4}$，則A＞C＞B
其中錯誤命題的個數是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化簡整理．
（2）根據三角形是銳角三角形，得到A+B＞90°，變形為B＞90°-A，根據三角函數在第一象限的單調性，得到cosB＜sinA，sinB＞cosA，即可得解；
（3）當B=$\frac{π}{2}$時，不等式不成立；
（4）根據sinB=$\frac{2}{5}$，討論B為銳角或鈍角，利用特殊角的三角函數值及正弦函數的增減性確定出B的范圍；根據tan C=$\frac{3}{4}$可知C為銳角，根據正切函數的增減性和特殊角的三角函數值得到角C的范圍，再根據內角和定理得到A的范圍即可比較大小．

解答 解：（1）∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，
∴△ABC是鈍角三角形，可得：tanAtanBtanC＜0，故錯誤；
（2）∵△ABC為銳角三角形，
∴A+B＞90°，B＞90°-A，
∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，
∴cosB-sinA＜0，sinB-cosA＞0，
∴cosB-sinA＜sinB-cosA，可得cosA+cosB＜sinA+sinB，故錯誤；
（3）當B=$\frac{π}{2}$時，tanB不存在，故錯誤；
（4）由tanC=$\frac{3}{4}$得到0＜C＜90°，且tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜1=tan45°，
因為正切函數在（0，90°）為增函數，所以得到30°＜C＜45°；
由sinB=$\frac{2}{5}$可得到0＜B＜90°或90°＜B＜180°，
在0＜B＜90°時，sin30°=$\frac{1}{2}$＞$\frac{2}{5}$，因為正弦函數在（0，90°）為增函數，得到0＜B＜30°；
在90°＜B＜180°時，sin150°=$\frac{1}{2}$＞$\frac{2}{5}$，但是正弦函數在90°＜B＜180°為減函數，得到B＞150°，則B+C＞180°，
矛盾，不成立．
所以0＜B＜30°．由B和C的取值得到A為鈍角，
所以A＞C＞B，故正確；
故選：D．

點評 本題考查兩角和的正切公式以及三角函數的符號，訓練運用公式熟練變形的能力，考查學生會根據三角函數值的范圍及三角函數的增減性和特殊角的三角函數值來比較角度的大小，考查了轉化思想，屬于中檔題．