Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B、A′C，P為A′C的中點(diǎn)．
（1）求證：EP∥平面A′FB．
（2）求證：平面A′EC⊥平面A′BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EP∥平面A′FB關(guān)鍵在平面A′FB內(nèi)找一直線與EP平行，由E、P分別為AC、A′C的中點(diǎn)，可得EP平行與
面A′FB內(nèi)一直線A′A．
（2）欲證平面A′EC⊥平面A′BC，即證BC⊥平面A′EC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，
則這兩個(gè)面垂直．
解答：證明：（1）：（1）∵E、P分別為AC、A′C的中點(diǎn)，
∴EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，而EP?平面AA′B，
∴故有 EP∥平面A′FB．
（2）∵E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC．
∵BC⊥AC，EF⊥AE，故EF⊥A′E，∴BC⊥A′E．
而A′E與AC相交，∴BC⊥平面A′EC．
又BC?平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′EC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，證明直線和平面平行的方法，正明平面和平面垂直的方法，
考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．