Question

7．已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=f（2-x），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x+1，則f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=-$\frac{31}{15}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，從而f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{15}-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{16}$）=-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{15}{16}$），由此利用當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x+1，能求出結(jié)果．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=f（2-x），
∴f（x+4）=f[2-（x+4）]=f（-x-2）=f（x+2）=-f[2-（x+2）]=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x+1，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}}$$\frac{1}{15}$）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{15}-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{16}$）=-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{15}{16}$）
=-（${2}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{15}{16}}$+1）
=-（$\frac{16}{15}+1$）
=-$\frac{31}{15}$．
故答案為：$-\frac{31}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．