Question

8．已知拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，|PF|=m|PQ|，當(dāng)m最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F，Q為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $3-2\sqrt{2}$
• B． $2-\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 求出F（0，1），Q（0，-1），過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，則PM=PF．記∠PQM=α，則m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，當(dāng)α最小時(shí)，m有最小值，設(shè)P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），然后求解a，c，即可求解橢圓的離心率、

解答 解：由已知，F(xiàn)（0，1），Q（0，-1），過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，則PM=PF．記∠PQM=α，
則m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，
當(dāng)α最小時(shí)，m有最小值，此時(shí)直線PQ與拋物線相切于
點(diǎn)P
設(shè)P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），可得P（±2，1），所以|PQ|=2$\sqrt{2}$，|PF|=2，則|PF|+|PQ|=2a，
∴a=$\sqrt{2}+1$，c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}-1$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．