Question

設(shè)a＞

1

9

，函數(shù)f（x）=

1-x2 1+x2

+a

1+x2 1-x2

．
（1）當(dāng)a=1時，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）求實(shí)數(shù)a的范圍，使得對于區(qū)間[-

2 5

5

，

2 5

5

]上的任意三個實(shí)數(shù)r，s，t都存在以f（r）、f（s）、f（t）為邊長的三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=1時，求出f（x）的定義域，判定f（x）為偶函數(shù)，化簡函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，利用定義進(jìn)行證明；
（2）換元，原問題等價于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得函數(shù)在給定的區(qū)間上，恒有2y_min＞y_max．

解答： 解：由題意，得f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f（x）為偶函數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，f（x）=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

1-x2

1+x2 1-x2

+

1+x2

1-x2 1+x2

=

2

1-x4

；
∴在x∈[0，1）時，f（x）是增函數(shù)；x∈（-1，0]時，f（x）是減函數(shù)； 
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴只對x∈[0，1）時，證明f（x）是增函數(shù)即可；
設(shè)0≤x₁＜x₂＜1，
∴

1-x14

＞

1-x24

＞0，
得

2

1-x14

＜

2

1-x24

，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴x∈[0，1）時，f（x）是增函數(shù)；
（2）設(shè)t=

1-x2 1+x2

，
∵x∈[-

2 5

5

，

2 5

5

]，
∴t∈[

1

3

，1]，
則y=t+

a

t

；
原問題轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得y在區(qū)間[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．
討論：①當(dāng)0＜a≤

1

9

時，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上單調(diào)遞增，
∴y_min=3a+

1

3

，y_max=a+1，由2y_min＞y_max得a＞

1

15

，
∴

1

15

＜a≤

1

9

；
②當(dāng)

1

9

＜a≤

1

3

時，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，
∴y_min=2

a

，y_max=max{3a+

1

3

，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4

3

＜a＜7+4

3

，
∴

1

9

＜a≤

1

3

；
③當(dāng)

1

3

＜a＜1時，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，
∴y_min=2

a

，y_max=max{3a+

1

3

，a+1}=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得

7-4 3

9

＜a＜

7+4 3

9

，
∴

1

3

＜a＜1；
④當(dāng)a≥1時，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上單調(diào)遞減，
∴y_min=a+1，y_max=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得a＜

5

3

，
∴1≤a＜

5

3

；
綜上，a的取值范圍是{a|

1

15

＜a＜

5

3

}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及分析、轉(zhuǎn)化問題的能力，是比較難的題目．