解:(Ⅰ)因為S
n=n
2a
n(n≥1),
當n≥2時,S
n-1=(n-1)
2a
n-1.
所以a
n=S
n-S
n-1=n
2a
n-(n-1)
2a
n-1.
所以(n+1)a
n=(n-1)a
n-1.
即
.
又
,
所以
=
=
.
當n=1時,上式成立
因為b
1=2,b
n+1=2b
n,
所以{b
n}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故b
n=2
n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b
n=2
n.
則
.
假設存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N
*,n≥2,有
恒成立,
即
恒成立.
由
,解得m≥16.
所以存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N
*,n≥2,有
恒成立.此時m的最小值為16.
(Ⅲ)當n是奇數(shù)時,
=(2+4++n+1)+(2
2+2
4++2
n-1)=
=
.
當n是偶數(shù)時,
=(2+4++n)+(2
2+2
4++2
n)=
=
.
因此
分析:(Ⅰ)根據(jù)題設條件用累乘法能夠求出數(shù)列{a
n}的通項公式.b
1=2,b
n+1=2b
n可知{b
n}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,由此能求出{b
n}的通項公式.
(Ⅱ)b
n=2
n.假設存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N
*,n≥2,有
恒成立,由此能導出m的最小值.
(Ⅲ)當n是奇數(shù)時,
,當n是偶數(shù)時,
,由此能推導出當n是偶數(shù)時,求數(shù)列{c
n}的前n項和T
n.
點評:本題是考查數(shù)列知識的綜合運用題,難度較大,在解題時要認真審題,仔細作答.