已知數(shù)列{an},{bn},其中數(shù)學公式,數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n≥1),數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2bn
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)是否存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有數(shù)學公式恒成立?若存在,求出m的最小值;
(Ⅲ)若數(shù)列{cn}滿足數(shù)學公式當n是偶數(shù)時,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

解:(Ⅰ)因為Sn=n2an(n≥1),
當n≥2時,Sn-1=(n-1)2an-1
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1
所以(n+1)an=(n-1)an-1

,
所以==
當n=1時,上式成立
因為b1=2,bn+1=2bn,
所以{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故bn=2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n

假設存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有恒成立,
恒成立.
,解得m≥16.
所以存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有恒成立.此時m的最小值為16.
(Ⅲ)當n是奇數(shù)時,
=(2+4++n+1)+(22+24++2n-1)=
=
當n是偶數(shù)時,
=(2+4++n)+(22+24++2n)==
因此
分析:(Ⅰ)根據(jù)題設條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式.b1=2,bn+1=2bn可知{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,由此能求出{bn}的通項公式.
(Ⅱ)bn=2n.假設存在自然數(shù)m,使得對于任意n∈N*,n≥2,有恒成立,由此能導出m的最小值.
(Ⅲ)當n是奇數(shù)時,,當n是偶數(shù)時,,由此能推導出當n是偶數(shù)時,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
點評:本題是考查數(shù)列知識的綜合運用題,難度較大,在解題時要認真審題,仔細作答.
練習冊系列答案
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an+1
an
=
1
2
,則數(shù)列{an}是( 。

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(I)若bn=
ann
+1
,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(II)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn.

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an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
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5
      n=1
2n+2
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2n
2n

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