已知函數(shù)f(x)=
-x2+x,(x≤1)
lnx,(x>1)
,
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)且x1<1,x2>1,若直線PQ是函數(shù)f(x)圖象的切線且P、Q都是切點(diǎn),求證:3<x2<4;(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931,ln3≈1.0986)
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I⊆D,若函數(shù)g(x)在I上可導(dǎo),對任意的x0∈I,g(x)的圖象在(x0,g(x0))處的切線為l,函數(shù)g(x)圖象上所有的點(diǎn)都在直線l上方或直線l上,則稱區(qū)間I為函數(shù)g(x)的“下線區(qū)間”.類比上面的定義,請你寫出函數(shù)“上線區(qū)間”的定義,并根據(jù)你所給的定義,判斷區(qū)間(-∞,
3
8
)是否是函數(shù)f(x)的“上線區(qū)間”(不必證明).
分析:(Ⅰ)分別當(dāng)x小于等于1求出f′(x)=0時x的值,然后利用x的值和x=1分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,而當(dāng)x大于1時得到導(dǎo)函數(shù)恒大于0得到函數(shù)的增區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)當(dāng)x1<1時求出f′(x1)即為直線PQ的斜率,根據(jù)直線PQ過(x1,f(x1))和求出的f′(x1)值寫出直線PQ的方程①,當(dāng)x2>1時求出f′(x2)即為直線PQ的斜率,根據(jù)直線PQ過(x2,f(x2))和求出的f′(x2)的值寫出直線PQ的方程②,因?yàn)閮蓷l直線表示同一條直線,所以聯(lián)立①②消去x1,得到關(guān)于x2的關(guān)系式,令φ(x)等于這個關(guān)系式,則x2是φ(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)x大于1時求出φ′(x)判斷其值小于0即φ(x)為減函數(shù),因?yàn)棣眨?)大于0,而φ(4)小于0,所以3<x2<4得證;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知-2x1+1=
1
x2
∈(
1
4
,
1
3
),∴x1∈(
1
3
,
3
8
),再結(jié)合f(x)圖象得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)x≤1時,由f′(x)=-2x+1=0得x=
1
2
;
當(dāng)x>1時,f′(x)=
1
x
>0
列表:
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∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,
1
2
),(1,+∞);
單調(diào)減區(qū)間為(
1
2
,1).
f(x)的極大值為f(
1
2
)=
1
4
,極小值為f(1)=0.
(Ⅱ)∵x1<1∴f′(x1)=-2x1+1
∴直線PQ的方程為y-f(x1)=f′(x1)(x-x1
即y-(-x12+x1)=(-2x1+1)(x-x1),y=(-2x1+1)x+x12
∵x2>1∴f′(x2)=
1
x2

∴直線PQ的方程為y-f(x2)=f′(x2)(x-x2
即y-lnx2=
1
x2
(x-x2),y=
1
x2
x+lnx2-1②
∵①②表示同一條直線方程,∴
-2x1+1=
1
x2
x
2
1
=lnx2-1

消去x1,得[
1
2
(1-
1
x2
)]2=lnx2-1,即
1
x
2
2
-
2
x2
-4lnx2+5=0
令φ(x)=
1
x2
-
2
x
-4lnx+5(x>1),則x2是φ(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
∵當(dāng)x>1時,φ′(x)=-
2
x3
+
2
x2
-
4
x
=
-2+2x-4x2
x3
=
4(x-
1
4
)
2
+
7
4
x3
<0

∴φ(x)在(1,+∞)上是減函數(shù)
又φ(3)=
1
9
-
2
3
-4ln3+5=
40
9
-4ln3=
4
9
(10-9ln3)>
4
9
(10-9×1.1)>0

φ(4)=
1
16
-
2
4
-4ln4+5=-
7
16
+5-8ln2<-
7
16
+5-8×0.69=-
7
16
-0.52<0

∴3<x2<4
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I⊆D,若函數(shù)g(x)在I上可導(dǎo),對任意的x0∈I,g(x)的圖象在(x0,g(x0))處的切線為l,函數(shù)g(x)圖象上所有的點(diǎn)都在直線l下方或直線l上,則稱區(qū)間I為函數(shù)g(x)的“上線區(qū)間”,
所以(-∞,
3
8
)不是函數(shù)f(x)的“上線區(qū)間”.
點(diǎn)評:本題要求學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,在實(shí)際問題中掌握導(dǎo)數(shù)所表示的意義,是一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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