Question

已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是BC，A′D′的中點(diǎn)．
（1）求：A′C與DE所成角
（2）求：AD與平面B′EF所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)可得平面B′EF的法向量，再利用向量的夾角公式即可得出線面角．

解答： 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A′（2，0，2），C（0，2，0），E（1，2，0）．
∴

A′C

=（-2，2，-2），

DE

=（1，2，0）．
設(shè)A′C與DE所成角為θ．
則cosθ=

A′C • DE

| A′C | | DE |

=

-2+4

12 • 5

=

15

15

．
∴異面直線A′C與DE所成角為arccos

15

15

．
（2）由F（1，0，2），B′（2，2，2），
∴

B′E

=（-1，0，-2），

EF

=（0，-2，2）．
設(shè)平面B′EF的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • B′E =-x-2z=0 n • EF =-2y-2z=0

，
令z=1，則y=-1，x=-2．∴

n

=（-2，-1，1），

DA

=（2，0，0）．
設(shè)AD與平面B′EF所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜

n

，

DA

＞|=

| n • DA |

| n | | DA |

=

4

6 ×2

=

6

3

．
∴AD與平面B′EF所成的角為arcsin

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的性質(zhì)、利用向量的夾角公式求空間角，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．