Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，x＞0}\\{\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$若m＜n，且f（m）=f（n），則n-m的取值范圍是（　　）

• A． [ln2，ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$]
• B． （ln2，ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{2}{3}$，ln2]
• D． （$\frac{2}{3}$，ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，x＞0}\\{\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$的圖象，由題意可得-$\frac{2}{3}$＜m≤0，求得n=ln（2+$\frac{3}{2}$m），可得g（m）=n-m=ln（2+$\frac{3}{2}$m）-m，-$\frac{2}{3}$＜m≤0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，考慮g（0），g（-$\frac{2}{3}$）的大小，即可得到所求范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，x＞0}\\{\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如右，
m＜n，且f（m）=f（n），可得-$\frac{2}{3}$＜m≤0，
$\frac{3}{2}$m+1=eⁿ-1，即為n=ln（2+$\frac{3}{2}$m），
可得g（m）=n-m=ln（2+$\frac{3}{2}$m）-m，-$\frac{2}{3}$＜m≤0，
g′（m）=$\frac{3}{4+3m}$-1=$\frac{-1-3m}{4+3m}$，
當(dāng)-$\frac{2}{3}$＜m＜-$\frac{1}{3}$時，g′（m）＞0，g（m）遞增；
當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜m≤0時，g′（m）＜0，g（m）遞減．
則g（m）在m=-$\frac{1}{3}$處取得極大值，也為最大值ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$，
g（0）=ln2，g（-$\frac{2}{3}$）→$\frac{2}{3}$，由$\frac{2}{3}$＜ln2，
可得n-m的范圍是（$\frac{2}{3}$，ln$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．