如圖，在斜三棱柱中，O是AC的中點，平面，，.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查線面垂直的證明、二面角、向量法等基礎知識，同時考查空間想象能力、邏輯推理論證能力和計算能力.第一問，利用線面垂直的性質(zhì)得，由已知，利用線面垂直的判定得平面，所以BC垂直面內(nèi)的線，又由于四邊形是菱形，所以，所以利用線面垂直的判定得平面；第二問，通過已知條件中的垂直關系建立空間直角坐標系，寫出各個點坐標，利用向量法求出面與面的法向量，再利用夾角公式，求出二面角的余弦值.
試題解析： （1）因為平面，所以．
又，所以平面，所以．     2分
因為，所以四邊形是菱形，所以．
所以平面，
所以．      5分
（2）以為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)．
，，
設是面的一個法向量，則，
即取．
同理面的一個法向量為．     10分
因為．
所以二面角的余弦值．     12分
考點：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.向量法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．
（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（2）設（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且.

（1）求證：；
（2）若異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中,側(cè)面底面,,底面是直角梯形,,,,．

（1）求證:平面;
（2）設為側(cè)棱上一點，，試確定的值,使得二面角為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如右圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，

(1)試證：A1、G、C三點共線；
(2)試證：A1C⊥平面BC1D；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的多面體中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1) 求證：平面平面；
(2) 若二面角為直二面角，求直線與平面所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且滿足.

（1）求證：平面側(cè)面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分別是CE，CF的中點．

(1)求證：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．

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