Question

16．我國大力提倡足球運(yùn)動，從2013年開始高校的體考生招生也向招收足球項(xiàng)目的考生傾斜，某高校（四年制）為了解近四年學(xué)校招收體考生中足球項(xiàng)目考生的情況，做了如下統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)以2012年為統(tǒng)計(jì)起始年，記為x=0，以足球項(xiàng)目考生占所有體考生的比例為y．

	2012級	2013級	2014級	2015級
x	0	1	2	3
體考生	250	260	300	300
足球項(xiàng)目考生	35	39	45	48
y	0.14	0.15

（1）已知y關(guān)于變量x的變化關(guān)系滿足線性回歸方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$，其中$\widehata$=0.141，求出回歸方程；2016級計(jì)劃足球項(xiàng)目考生60人，根據(jù)線性回歸方程2016級總的體考生將招收多少人（人數(shù)四舍五入）；
（2）開學(xué)后舉行了一次新生足球見面賽，由15級16級的足球項(xiàng)目考生共同組成一支18人足球隊(duì)，按分層抽樣確定15級，16級的足球隊(duì)員人數(shù)．
（i）求足球隊(duì)中，15級和16級的足球隊(duì)員各有多少人？
（ii）比賽上場隊(duì)員有11人，其余7人在場外替補(bǔ)，已知在場上有6名16級學(xué)生，在比賽過程中有2名替補(bǔ)隊(duì)員被替換上場，求替換上場的選手中恰好有1名16級的新生的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overline{x}$=1.5，$\overline{y}$=0.15，由線性回歸方程$\widehaty$=$\widehatb$x+0.141過點(diǎn)（1.5，0.15），能求出線性回歸方程$\widehat{y}$=0.006x+0.141．根據(jù)線性回歸方程能求出2016級總的體考生將招收的人數(shù)．
（2）（i）15級有足球項(xiàng)目考生48人，16級有足球項(xiàng)目考生60人，由15級16級的足球項(xiàng)目考生共同組成一支18人足球隊(duì)，按分層抽樣能確定15級足球隊(duì)員人數(shù)和16級的足球隊(duì)員人數(shù)．
（ii）由題意知7名替補(bǔ)隊(duì)員中有15級學(xué)生3名，16級新生4名，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出替換上場的選手中恰好有1名16級的新生的概率．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}（0+1+2+3）$=1.5，
$\overline{y}=\frac{1}{4}（0.14+0.15+\frac{45}{300}+\frac{48}{300}）$=0.15，
∵$\widehata$=0.141，∴$\widehaty$=$\widehatb$x+0.141，
∵線性回歸方程$\widehaty$=$\widehatb$x+0.141過點(diǎn)（1.5，0.15），
∴0.15=1.5$\widehat$+0.141，
解得$\widehat$=0.006，
∴線性回歸方程$\widehat{y}$=0.006x+0.141．
2016級時(shí)，$\widehat{y}$=0.006×4+0.141=0.165，
∵2016級計(jì)劃足球項(xiàng)目考生60人，
∴根據(jù)線性回歸方程2016級總的體考生將招收：$\frac{60}{0.165}$≈364（人）．
（2）（i）∵15級有足球項(xiàng)目考生48人，16級有足球項(xiàng)目考生60人，
由15級16級的足球項(xiàng)目考生共同組成一支18人足球隊(duì)，
∴按分層抽樣確定15級足球隊(duì)員人數(shù)為：48×$\frac{18}{48+60}$=8人，
16級的足球隊(duì)員人數(shù)為：60×$\frac{18}{48+60}$=10．
（ii）由題意知7名替補(bǔ)隊(duì)員中有15級學(xué)生3名，16級新生4名，
在比賽過程中有2名替補(bǔ)隊(duì)員被替換上場，基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{2}$=21，
替換上場的選手中恰好有1名16級的新生包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$=12，
∴替換上場的選手中恰好有1名16級的新生的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查分層抽樣方法的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．