Question

13．設(shè)直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，它與橢圓$\frac{4{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的交點(diǎn)為A和B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t化為普通方程：y=2x-4．代入橢圓可得：8x²-16x+7=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-2+2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t化為普通方程：y=2x-4．
代入橢圓$\frac{4{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得：8x²-16x+7=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{7}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5×（4-4×\frac{7}{8}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．