Question

17．某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取100名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如圖部分頻率分布直方圖，其中成績在[130，150]的稱為“優(yōu)秀”，其它的稱為“一般”，觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數(shù)在[120，130）內的人數(shù)及數(shù)學成績“優(yōu)秀”的人數(shù)；
（2）用分層抽樣的方法在在分數(shù)段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段在分數(shù)段[120，130）內的概率．
（3）若統(tǒng)計了這100名學生的地理成績后得到如下表格：

	數(shù)學成績“優(yōu)秀”	數(shù)學成績“一般”	總計
地理成績“優(yōu)秀”	10	40	50
地理成績“一般”	20	30	50
總計	30	70	100

則能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與地理成績是否優(yōu)秀有關系”？
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025
k	2.072	2.706	3.841	5.024

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（a+c）（c+d）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）求出頻率，然后求解分數(shù)在[120，130）內的人數(shù)及數(shù)學成績“優(yōu)秀”的人數(shù)．
（2）求出[110，120）分數(shù)段的人數(shù)，[120，130）分數(shù)段的人數(shù)，在[110，120）分數(shù)段內抽取2人，并分別記為m，n；在[120，130）分數(shù)段內抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120，130）內”為事件A，基本事件總數(shù)，求出A的事件數(shù)目；然后求解概率．
（3）求出K²，即可判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與地理成績是否優(yōu)秀有關系”．

解答 解：（1）分數(shù)在[120，130）內的頻率為
1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3；
分數(shù)在[130，150]內的頻率為
0，.25+0.05=0.3；
所以分數(shù)在[120，130）內的人數(shù)及數(shù)學成績“優(yōu)秀”的人數(shù)均為100×0.3=30．
（2）依題意，[110，120）分數(shù)段的人數(shù)為100×0.15=15（人），
[120，130）分數(shù)段的人數(shù)為100×0.3=30（人）；
∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴需在[110，120）分數(shù)段內抽取2人，并分別記為m，n；
在[120，130）分數(shù)段內抽取4人，并分別記為a，b，c，d；
設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120，130）內”為事件A，
則基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，
（n，d），（a，b），…，（c，d）共15種；
則事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），
（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9種；
∴P（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．
（3）${K^2}=\frac{{100×{{（{10×30-20×40}）}^2}}}{30×70×50×50}≈4.762＞3.841$，
所以能在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與地理成績是否優(yōu)秀有關系”．

點評 本題考查獨立檢驗以及頻率分布直方圖，古典概型的應用，考查分析問題解決問題的能力．