已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，當(dāng)△PFO的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．
由橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1可得a2=4，b2=3，∴c=
a2-b2
=1．
∴左焦點(diǎn)F（-1，0）．
由題意只考慮直線(xiàn)l的斜率存在且不為0即可，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
my=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
化為（4+3m2）y2-6my-9=0，
∴y1+y2=
6m
4+3m2
，
∴yP=
y1+y2
2
=
3m
4+3m2
，
∴S△PFO=
1
2
|OF|•|yP|=
|3m|
2(4+3m2)
=
3
2(
4
|m|
+3|m|)
≤
3
2×2
12
=
3
8
，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=
2
3
3
時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)△PFO的最大值為
3
8
，直線(xiàn)l的方程為±
2
3
3
y=x+1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓，它的離心率為，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線(xiàn)為，動(dòng)直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；⑶將曲線(xiàn)向右平移2個(gè)單位得到曲線(xiàn),設(shè)曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)，若，試證明三點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在同一條直線(xiàn)上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)．曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．

過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線(xiàn)PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)（-
3
，0），（
3
，0）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）若AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-
1
2
，求直線(xiàn)AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)（1，1）是橢圓
x2
4
+
y2
2
=1某條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線(xiàn)方程為：______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)C：x2-y2=1，l：y=kx+1
（1）求直線(xiàn)L的斜率的取值范圍，使L與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在，若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為
3
2
．過(guò)點(diǎn)M（0，3）的直線(xiàn)l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
|-|
PB
|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（1）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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