Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁＝b₁，a₂＝b₂≠a₁，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，

(1)若b_k＝a_m(m，k是大于2的正整數(shù))，求證：S_k－1＝(m－1)a₁；

(2)若b₃＝a_i(i是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)；

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{b_n}中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)q的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)的公差為，由，知，() 　　(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0041/0020/fea2f99c6f1473093f54cd0629205f7a/C/Image97.gif" width=50 height=24>，所以， 　　， 　　所以 　　(2)，由， 　　所以解得，或，但，所以，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0041/0020/fea2f99c6f1473093f54cd0629205f7a/C/Image108.gif" width=9 height=17>是正整數(shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為 　　，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)＝ 　　現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，，所以 　　，若，則，那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0041/0020/fea2f99c6f1473093f54cd0629205f7a/C/Image127.gif" width=96 height=24>，只要考慮的情況，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0041/0020/fea2f99c6f1473093f54cd0629205f7a/C/Image129.gif" width=45 height=24>，所以，因此是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為 　　與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立． 　　(3)設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有 　　2設(shè)，所以2，令，則，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0041/0020/fea2f99c6f1473093f54cd0629205f7a/C/Image141.gif" width=36 height=21>，所以，所以，即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列．