Question

16．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，準線l，點A為C上一點，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑作圓交l于B、D兩點，∠BFD=120°，△ABD的面積為4$\sqrt{3}$，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)∠BFD，|BF|=|FD|，推斷出∠FBD=∠FBD=30°，進而表示出|FR|，|BF|，|BR|，|DF|，|DR|，進而表示出|BD|及圓的半徑，進而利用拋物線的定義求得A到直線l的距離，利用三角形的面積，求得p的值．

解答 解：∵∠BFD=120°，|BF|=|FD|，
∴∠FBD=∠FBD=30°，
∵在Rt△BFR中，|FR|=p，
∴|BF|=2p，|BR|=$\sqrt{3}$p，
同理得：|DF|=2p，|DR|=$\sqrt{3}$p，
∴|BD|=|BR|+|RD|=2$\sqrt{3}$P，
圓F的半徑|FA|=|FB|=2p，
由拋物線的定義可知A到l的距離d=|FA|=2p，
∵△ABD的面積為4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|BD|•d=4$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$p•2p=4$\sqrt{3}$，解得：p=$\sqrt{2}$或p=-$\sqrt{2}$（舍去），
p的值為$\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，圓錐曲線的位置關(guān)系，圓的方程等問題．綜合性強，計算量大，考查了學生分析推理和運算的能力，屬于中檔題．