Question

【題目】已知橢圓E的右焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，點M 在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P（﹣4，0），直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點，若直線PA，PB均與圓x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線y2=4x的焦點為（1，0），

則橢圓的焦點為（﹣1，0），（1，0），即c=1，

點M 在橢圓E上，

由橢圓的定義可得2a= +

= + =4，

即a=2，b= = ，

則橢圓方程為 + =1；

（2）解：由P在x軸上，直線PA，PB均與圓x2+y2=r2（r＞0）相切，

可得kPA+kPB=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 + =0，

即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，

由y1=kx1+1，y2=kx2+1，

可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①

由直線y=kx+1代入橢圓方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，

判別式△=64k2+32（3+4k2）＞0顯然成立，

x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

代入①，可得2k（﹣ ）+（﹣ ）（4k+1）+8=0，

解得k=1．

【解析】（1）求出拋物線的焦點，可得橢圓的焦點，即c=1，再由橢圓的定義，結合兩點的距離公式，可得a=2，由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；（2）由題意可得kPA+kPB=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運用兩點的斜率公式和點在直線上，將直線y=kx+1代入橢圓方程，運用韋達定理，代入可得k的方程，化簡整理，解方程可得k的值．