Question

3．已知直線y=$\frac{1}{2}$x與橢圓E：x²+2y²=λ（λ＞0）交于A，B兩點(diǎn)，C，D是橢圓E上異于A，B的兩點(diǎn)且直線AC，BD交于M，AD，BC交于點(diǎn)N，試求直線MN的斜率．

Answer 1

分析 求出A，B坐標(biāo)，對(duì)直線CA是否有斜率進(jìn)行討論，求出四條直線的斜率的關(guān)系，得出四條直線的方程，解出M，N的坐標(biāo)，代入斜率公式計(jì)算斜率．

解答 解：聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=λ}\end{array}\right.$得A（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），B（-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$）．
（1）當(dāng)直線CA，CB，DA，DB的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k₁，k₂，C（x₀，y₀），
則k₁•k_CB=$\frac{{y}_{0}-\frac{\sqrt{6λ}}{6}}{{x}_{0}-\frac{\sqrt{6λ}}{3}}$•$\frac{{y}_{0}+\frac{\sqrt{6λ}}{6}}{{x}_{0}+\frac{\sqrt{6λ}}{3}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{λ}{6}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{2λ}{3}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{λ}{6}}{λ-2{{y}_{0}}^{2}-\frac{2λ}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴k_BC=-$\frac{1}{2{k}_{1}}$，同理可得k_BD=-$\frac{1}{2{k}_{2}}$．
∴直線AD的方程為y-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=k₂（x-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），①
直線BC的方程為y+$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=-$\frac{1}{2{k}_{1}}$（x+$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），②
聯(lián)立方程組①②可得N（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}-2{k}_{1}-1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}-4{k}_{2}+1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$），
將k₁，k₂互換即可得出M（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{2{k}_{1}{k}_{2}-2{k}_{2}-1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}-4{k}_{1}+1}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}$）．
∴k_MN=$\frac{\frac{\sqrt{6λ}}{6}（\frac{4{k}_{1}-4{k}_{2}}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}）}{\frac{\sqrt{6λ}}{3}（\frac{2{k}_{2}-2{k}_{1}}{1+2{k}_{1}{k}_{2}}）}$=-1．
（2）當(dāng)CA，CB，DA，DB中有直線斜率不存在時(shí)，則至多有一條直線斜率不存在，
不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），故直線CA的方程為x=$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，③
設(shè)DA的斜率為k₂，則直線DB的斜率為-$\frac{1}{2{k}_{2}}$，∴直線DB的方程為y+$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=-$\frac{1}{2{k}_{2}}$（x+$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），④
聯(lián)立方程組③④得M（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$，$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$•$\frac{-{k}_{2}-2}{{k}_{2}}$），
直線BC的方程為y=-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$，⑤
直線AD的方程為y-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$=k₂（x-$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$），⑥
聯(lián)立方程組⑤⑥得N（$\frac{\sqrt{6λ}}{3}$•$\frac{{k}_{2}-1}{{k}_{2}}$，-$\frac{\sqrt{6λ}}{6}$），
∴k_MN=$\frac{\frac{\sqrt{6λ}}{6}（\frac{-{k}_{2}-2}{{k}_{2}}+1）}{\frac{\sqrt{6λ}}{3}（1-\frac{{k}_{2}-1}{{k}_{2}}）}$=-1．
綜上，直線MN的斜率為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程與斜率計(jì)算，屬于中檔題．