Question

若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則x²-（m+2）x+m+5=0在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)根，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，分△=0和△＞0兩種情況討論滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則x²-（m+2）x+m+5=0在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)根，
當(dāng)△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16=0時(shí)，m=±4
當(dāng)m=-4時(shí)，x²-（m+2）x+m+5=0可化為x²+2x+1=0，此時(shí)方程的根-1∉（2，4）
當(dāng)m=4時(shí)，x²-（m+2）x+m+5=0可化為x²-6x+9=0，此時(shí)方程的根3∈（2，4）
當(dāng)△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16＞0時(shí)，m∈（-∞，-4）∪（4，+∞）
若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則f（2）•f（4）=（-m+5）（-3m+13）＜0，
解得

13

3

≤m＜5
∴

13

3

≤m＜5
綜上所述若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

13

3

≤m＜5或m=4
故答案為：

13

3

≤m＜5或m=4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)和方程的綜合應(yīng)用，難度中檔．