Question

16．已知三棱錐S-ABC的各頂點都在一個球面上，△ABC所在截面圓的圓心O在AB上，SO⊥平面$ABC，AC=\sqrt{3}，BC=1$，若三棱錐的體積是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則球體的表面積是（　�。�

• A． $\frac{25}{4}π$
• B． $\frac{25}{12}π$
• C． $\frac{125}{48}π$
• D． 25π

Answer 1

分析 利用條件，求出SO，利用勾股定理，求出R，即可求出球體的表面積．

解答 解：∵△ABC所在截面圓的圓心O在AB上，SO⊥平面$ABC，AC=\sqrt{3}，BC=1$，三棱錐的體積是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×SO$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴SO=2，
設(shè)球體的半徑=R，則R=$\sqrt{1+（2-R）^{2}}$，∴R=$\frac{5}{4}$，
∴球體的表面積是$4π×\frac{25}{16}$=$\frac{25}{4}π$，
故選：A．

點評 本題考查球體的表面積，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．