【題目】定義變換將平面內(nèi)的點(diǎn)變換到平面內(nèi)的點(diǎn);若曲線經(jīng)變換后得到曲線,曲線經(jīng)變換后得到曲線,…,依次類推,曲線經(jīng)變換后得到曲線,當(dāng)時(shí),記曲線與、軸正半軸的交點(diǎn)為和,某同學(xué)研究后認(rèn)為曲線具有如下性質(zhì):①對任意的,曲線都關(guān)于原點(diǎn)對稱;②對任意的,曲線恒過點(diǎn);③對任意的,曲線均在矩形(含邊界)的內(nèi)部,其中的坐標(biāo)為;④記矩形的面積為,則;其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.
【答案】③④
【解析】
在曲線上任取一點(diǎn),經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn),…….依次類推,經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn),根據(jù)變換得: ,兩邊取對數(shù),得到
所以分別以為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,從而得到,再根據(jù)代入法求軌跡方程,得到 ,然后再對四個(gè)命題逐一討論,進(jìn)而得到正確的結(jié)論.
在曲線上任取一點(diǎn)
經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn),
曲線經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn),
依次類推,曲線上的點(diǎn),
經(jīng)變換后得到曲線上的點(diǎn),
根據(jù)題意得: ,
所以
即
所以分別以為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列.
所以
所以
又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上
所以
①點(diǎn)不適合,所以曲線不關(guān)于原點(diǎn)對稱;故錯(cuò)誤.
②令 所以曲線不過點(diǎn);故錯(cuò)誤.
③令得,令 ,得,
因?yàn)?/span>,所以,
同理所以對任意的,曲線均在矩形(含邊界)的內(nèi)部,其中的坐標(biāo)為;故正確.
④記矩形的面積為,則,
故,故正確.
綜上:③④正確
故答案為:③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的離心率為,設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為20米,圓O的半徑為1米,圓心足正方形的中心,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上,若線段PQ與圓O有公共點(diǎn),則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中. 已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng),則點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的育區(qū)中的時(shí)長約為________秒(精確到0.1)
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【題目】已知雙曲線 的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于,兩點(diǎn).若雙曲線的離心率為,的面積為,為坐標(biāo)原點(diǎn),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )
A. B. C. D.
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【題目】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)A關(guān)于平面BDC1對稱點(diǎn)為M,則M到平面A1B1C1D1的距離為( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過P(1,0)作動(dòng)直線AB交橢圓Γ于A,B兩點(diǎn),Q(4,3)為平面上一定點(diǎn)連接QA,QB,設(shè)直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,問k1+k2是否為定值,如果是,則求出該定值;否則,說明理由.
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【題目】如圖,在以P為頂點(diǎn)的圓錐中,母線長為,底面圓的直徑AB長為2,O為圓心.C是圓O所在平面上一點(diǎn),且AC與圓O相切.連接BC交圓于點(diǎn)D,連接PD,PC,E是PC的中點(diǎn),連接OE,ED.
(1)求證:平面平面PAC;
(2)若二面角的大小為,求面PAC與面DOE所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知為拋物線:的焦點(diǎn),過的動(dòng)直線交拋物線于,兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí),.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)使得直線,,的斜率成等差數(shù)列,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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