18.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{lnx}-ax(x>0$且x≠1).
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的極小值;
(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;
(3)若?x∈[e,e2],使f(x)≤$\frac{1}{4}$成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)將a=0代入f(x),求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到$-a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}$,令lnx=t(t>0),得到$g(t)={(\frac{1}{t}-\frac{1}{2})^2}-\frac{1}{4}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)法一:通過討論a的范圍,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而確定a的范圍即可;法二:通過分離參數(shù)法求出a的范圍即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=0時(shí),$f(x)=\frac{x}{lnx}$$f'(x)=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}>0$…(1分)x>e
則f(x)在(0,e)為減函數(shù),在(e,+∞)為增函數(shù),…(3分)
所以f(x)極小值=f(e)=e…(4分)
(2)∵函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),
∴$f'(x)=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}-a≤0$在(1,+∞)上恒成立…(5分)
∴$-a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}$,令lnx=t(t>0)…(6分)
$-a≤\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}$,令$g(t)={(\frac{1}{t}-\frac{1}{2})^2}-\frac{1}{4}$
則-a≤g(t)min…(7分)∴$-a≤-\frac{1}{4}$,則$a≥\frac{1}{4}$…(8分)
所以a的最小值為$\frac{1}{4}$…(9分)
(2)方法一、∵?x∈[e,e2],使f(x)≤$\frac{1}{4}$成立,
∴$f{(x)_{min}}≤\frac{1}{4}$…(10分)
1°$a≥\frac{1}{4}$,由(1)知f(x)在[e,e2]為減函數(shù),
∴$f{(x)_{min}}=f({e^2})=\frac{e^2}{2}-a{e^2}≤\frac{1}{4}$,
∴$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…(11分)
2°當(dāng)$a<\frac{1}{4}$,$f'(x)=-{(\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2})^2}+\frac{1}{4}-a$,
∵$e≤x≤{e^2}⇒1≤lnx≤2⇒\frac{1}{2}≤\frac{1}{lnx}≤1$$⇒-a≤f'(x)≤\frac{1}{4}-a$…(12分)
①當(dāng)-a≥0,即a≤0f'(x)≥0在[e,e2]上恒成立,
則f(x)在[e,e2]為增函數(shù),
∴f(x)min=f(e)=e-ae≤$\frac{1}{4}$
則$a≥1-\frac{1}{4e}$(不合題意)…(13分)
②當(dāng)$-a<0⇒0<a<\frac{1}{4}$$?{x_0}∈(e,{e^2}),f'({x_0})=0$,
則$f(x)在(e,{x_0})上為減函數(shù),在({x_0},{e^2})上為增函數(shù)$,
∴$f{(x)_{min}}=f({x_0})=\frac{x_0}{{ln{x_0}}}-a{x_0}≤\frac{1}{4}$,
∴$a≥\frac{1}{{ln{x_0}}}-\frac{1}{{4{x_0}}}>\frac{1}{{ln{e^2}}}-\frac{1}{4e}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4e}>\frac{1}{4}$(不合題意)…(15分)
綜上所述:$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…(16分)
方法二、由題意:$?x∈[e,{e^2}],\frac{x}{lnx}-ax≤\frac{1}{4}$
等價(jià)于$?x∈[e,{e^2}],a≥\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x}$…(10分)
∴$a≥{(\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x})_{min}}$,x∈[e,e2]…(11分)
令$φ(x)=\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x}$
則$φ'(x)=-\frac{1}{{x{{ln}^2}x}}+\frac{1}{{4{x^2}}}=\frac{{{{ln}^2}x-4x}}{{4{x^2}{{ln}^2}x}}$…(12分)
∵e≤x≤e2⇒1≤lnx≤2⇒1≤ln2x≤44e≤4x≤4e2⇒-4e2≤4x≤-4e,
∴1-4e2≤ln2x-4x≤4-4e<0,
∴φ'(x)<0⇒φ(x)在[e,e2]上為減函數(shù),…(14分)
∴$φ{(diào)(x)_{min}}=φ({e^2})=\frac{1}{{ln{e^2}}}-\frac{1}{4e}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4e}$…(15分)
∴$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若幸福度不低于9.5分,則稱該人的幸福度為“極幸!保髲倪@16人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率;
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