Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+$\sqrt{2}$y-3=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）動直線l；y=kx+m與橢圓C相切，分別過點(diǎn)F₁、F₂作直線垂直于l，垂足分別為D、E，求|F₁D|+|F₂E|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及點(diǎn)到直線的距離公式求得b的值，由a²=b²+c²，即可求得a和c的值，求得橢圓方程；
（2）過O做OP⊥l垂足為P，利用中位線定理2丨OP丨=|F₁D|+|F₂E|，則P位于短軸的頂點(diǎn)時，丨OP丨最小，即可求得|F₁D|+|F₂E|的最小值．

解答 解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，①
由圓x²+y²=b²與直線x+$\sqrt{2}$y-3=0相切，則圓心到直線x+$\sqrt{2}$y-3=0的距離等于半徑d，
則b=$\frac{丨0-0-3丨}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，②
由①②可知：a=2，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意得過：O做OP⊥l垂足為P，
∴2丨OP丨=|F₁D|+|F₂E|，
當(dāng)丨OP丨=b時，丨OP丨最小
此時2丨OP丨=2$\sqrt{3}$
|F₁D|+|F₂E|的最小值為2$\sqrt{3}$，
綜上所述，|F₁D|+|F₂E|的最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．