【題目】已知直線L:kx-y+1+2k=0.

(1)求證:直線L過定點;

(2)若直線L交x軸負半軸于點A交y正半軸于點B,AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時直線L的方程.

【答案】(1)定點(-2,1); (2) x-2y+4=0.

【解析】

試題分析:(1)由直線系方程: 恒過兩直線: 的交點可知:只需將直線L的方程改寫成: 知直線L恒過直線的交點(-2,1),從而問題得證;(2)先用k將點A和點B的坐標(biāo)表示出來,由直線L交x軸負半軸于點A,交y正半軸于點B知:k>0;然后再用含k的代數(shù)式將AOB的面積為S表達出來,得到S是k的函數(shù),再利用基本不等式就可求得使S取得最小值對應(yīng)的k的值,從而就可寫出直線L的方程.

試題解析:(1)證明:由已知得: k(x+2)+(1-y)=0, 3分

x+2=0 , 1-y=0

: x=-2 , y=1

無論k取何值,直線過定點(-21) 5分

(2)解:令y=0得A點坐標(biāo)為

令x=0得B點坐標(biāo)為(0,2k+1)(k>0) 7分

SAOB |2k+1|= (2k+1)

(4+4)=4 .10分

當(dāng)且僅當(dāng)4k=,即k=時取等號.

AOB的面積的最小值為4此時直線l的方程為xy1+1=0,

x-2y+4=0. 12分

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