雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線分別為l1，l2，右焦點(diǎn)為F，若在右支上存在一點(diǎn)P，使得P到l1的距離d1、
3
2
|PF|、P到l2的距離d2依次成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�
分析：求出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線方程，可求d1=
|bx+ay|
b2+a2
，d2=
|bx-ay|
b2+a2
，利用P到l1的距離d1、
3
2
|PF|、P到l2的距離d2依次成等比數(shù)列，可得
3
4
|PF|2=
a2b2
c2
，結(jié)合|PF|≥c-a，即可得出結(jié)論．
解答：解：設(shè)P（x，y）（x≥a），則
∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線分別為bx+ay=0，bx-ay=0，
∴d1=
|bx+ay|
b2+a2
，d2=
|bx-ay|
b2+a2
，
∴d1d2=
|bx+ay|
b2+a2
•
|bx-ay|
b2+a2
=
b2x2-a2y2
c2
=
a2b2
c2
，
∵P到l1的距離d1、
3
2
|PF|、P到l2的距離d2依次成等比數(shù)列，
∴
3
4
|PF|2=
a2b2
c2
，
∴|PF|2=
4a2b2
3c2

∵|PF|≥c-a，
∴
4a2b2
3c2
≥(c-a)2，
∴4a2（c2-a2）≥3c2（c-a）2，
∴3e3-e-2≤0，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　�。�
A、[3-2
3
，+∞)
B、[3+2
3
，+∞)
C、[-
7
4
，+∞)
D、[
7
4
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，則a等于
 
，該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的左焦點(diǎn)，且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：x-y+2=0截得的弦長等于
2
，則a等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，并且P點(diǎn)與右焦點(diǎn)F′的連線垂直x軸，則線段OP的長為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-
3
，0)，則其漸近線方程為（　�。�
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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