【題目】若函數(shù)f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=﹣2對稱,則f(x)的最大值為

【答案】16
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=﹣2對稱,
∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,
即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a(﹣5)+b]=0,
解之得 ,
因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,
求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,
令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣ ,x2=﹣2,x3=﹣2+ ,
當(dāng)x∈(﹣∞,﹣2﹣ )時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(﹣2﹣ ,﹣2)時,f′(x)<0;
當(dāng)x∈(﹣2,﹣2+ )時,f′(x)>0; 當(dāng)x∈(﹣2+ ,+∞)時,f′(x)<0
∴f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣2﹣ )、(﹣2,﹣2+ )上是增函數(shù),在區(qū)間(﹣2﹣ ,﹣2)、(﹣2+ ,+∞)上是減函數(shù).
又∵f(﹣2﹣ )=f(﹣2+ )=16,
∴f(x)的最大值為16.
故答案為:16.
由題意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性,可得f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣2﹣ )、(﹣2,﹣2+ )上是增函數(shù),在區(qū)間(﹣2﹣ ,﹣2)、(﹣2+ ,+∞)上是減函數(shù),結(jié)合f(﹣2﹣ )=f(﹣2+ )=16,即可得到f(x)的最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,直三棱柱中, , 的中點(diǎn), 的中點(diǎn).

(1)求證: ;

(2)若,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線和定點(diǎn), 是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線的極坐標(biāo)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于兩點(diǎn),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a<b,則必有(
A.af(b)≤bf(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)
D.bf(b)≤f(a)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,兩同心圓: . 為大圓上一動點(diǎn),連結(jié)為坐標(biāo)原點(diǎn))交小圓于點(diǎn),過點(diǎn)軸垂線(垂足為),再過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.

(1)當(dāng)點(diǎn)在大圓上運(yùn)動時,求垂足的軌跡方程;

(2)過點(diǎn)的直線交垂足的軌跡于兩點(diǎn),若以為直徑的圓與軸相切,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣ (a>0),g(x)=4x+ + ,且y=f(x+ )為偶函數(shù).設(shè)集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}.
(1)若t=﹣ ,記f(x)在A上的最大值與最小值分別為M,N,求M﹣N;
(2)若對任意的實(shí)數(shù)t,總存在x1 , x2∈A,使得|f(x1)﹣f(x2)|≥g(x)對x∈[0,1]恒成立,試求a的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是(

A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述正確的是( )

①2017年第一季度 總量和增速均居同一位的省只有1個;

②與去年同期相比,2017年第一季度五個省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長;

③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江;

④2016年同期浙江的總量也是第三位.

A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案