Question

8．已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，C={x|m+1≤x≤2m}
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）若B∪C=B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件和交集的運算求出A∩B，由補集的運算求出∁_RA，由并集的運算求出（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）由并集的運算將B∪C=B轉化為C⊆B，根據(jù)條件和子集的定義分類討論，分別列出不等式（組），求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，
∴A∩B={x|3≤x≤6}，且∁_RA={x|-1＜x＜3}，
∴（∁_RA）∪B={x|-1＜x≤6}；         …（6分）
（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，
即C={x|m+1≤x≤2m}⊆{x|1≤x≤6}，
①當C=∅時，有m+1＞2m，解得m＜1，
②當C≠∅時，有$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2m}\\{m+1≥1}\\{2m≤6}\end{array}\right.$，解得1≤m≤3，
綜上所述：m的取值范圍是（-∞，1）∪[1，3]，即（-∞，3]．…（12分）

點評 本題考查交、并、補集的混合運算，以及集合之間的關系的應用，考查分類討論思想、轉化思想，注意空集是任何集合的子集．