Question

5．京劇是我國的國粹，是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，為紀念著名京劇表演藝術(shù)家，京劇藝術(shù)大師梅蘭芳先生，某電視臺《我愛京劇》的一期比賽中，2位“梅派”傳人和4位劇票友（資深業(yè)余愛好者）在幕后登臺演唱同一曲目《貴妃醉酒》選段，假設(shè)6位演員的演唱水平相當，由現(xiàn)場40位大眾評委和“梅派”傳人的朋友猜測哪兩位是真正的“梅派”傳人，（1）此欄目編導(dǎo)對本期的40位大眾評委的年齡和對京劇知識的了解進行調(diào)查，根據(jù)凋查得到的數(shù)據(jù)如下：

	京劇票友	一般愛好者	合計
50歲以上	15	10	25
50歲以下	3	12	15
合計	18	22	40

試問：在犯錯誤的概率不超過多少的前提下，可以認為年齡的大小與對京劇知識的了解有關(guān)系？
（2）若在一輪中演唱中，每猜出一位亮相一位，且規(guī)定猜出2位“梅派”傳人，或猜出5人后就終止，記本輪競猜x次，求隨機變量x分布列與期望．

0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
0.455	0.708	1.323	2.027	2.706
0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²=$\frac{n（ac-bd）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）計算出K²，通過查表即可得出．
（2）由題意可得X=2，3，4，5，利用古典概率計算公式、相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）K²=$\frac{40×（15×12-3×10）^{2}}{18×22×25×15}$≈6.061＞5.024，
∴在犯錯誤的概率不超過97.5%的前提下，可以認為年齡的大小與對京劇知識的了解有關(guān)系．
（2）由題意可得X=2，3，4，5，P（X=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，P（X=3）=$\frac{2{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=4）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=5）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{4}{A}_{5}^{5}+{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{3}{A}_{4}^{4}{∁}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{5}}$=$\frac{3}{5}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$

E（X）=2×$\frac{1}{15}$+3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{1}{5}$+5×$\frac{3}{5}$=$\frac{13}{3}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的與原理、古典概率計算公式、相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．