Question

13．如圖，直線PA與圓切于點A，過P作直線與圓交于C、D兩點，點B在圓上，且∠PAC=∠BCD．
（1）求證：∠PCA=∠BAC；
（2）若PC=2AB=2，求$\frac{AP}{BC}$．

Answer 1

分析 （1）證明∠ABC=∠BCD，即可證明AB∥PD，可得：∠PCA=∠BAC；
（2）證明△PAC～△CBA，則$\frac{PC}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{BC}$，即可求$\frac{AP}{BC}$．

解答 （1）證明：∵直線PA與圓切于點A，∴∠PAC=∠ABC，…（2分）
∵∠PAC=∠BCD，∴∠ABC=∠BCD，…（3分）
∴AB∥PD，…（4分）
∴∠PCA=∠BAC…（5分）
（2）解：∵∠PCA=∠BAC，∠PAC=∠ABC，
∴△PAC～△CBA，則$\frac{PC}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{BC}$，…（7分）
∵PC=2AB=2，∴AC²=AB•PC=2，即$AC=\sqrt{2}$，…（9分）
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$…（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．