Question

3．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1沒(méi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合判別式△≤0進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+（a+2）x+（2a+1），為開(kāi)口向上的拋物線，
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1沒(méi)有極值點(diǎn)，
則等價(jià)為f′（x）≥0恒成立，即判別式△=（a+2）²-4（2a+1）≤0，
即a²-4a≤0，得0≤a≤4，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4]，
故答案為：[0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為判別式△的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．