Question

3．已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． sin（α+β）＜sinα+sinβ
• B． sin（α+β）＞sinα+sinβ
• C． cos（α+β）＜sinα+sinβ
• D． cos（α+β）＞cosα+cosβ

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
∴0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，
∴sin（α+β）＜sinα+sinβ成立，故A正確．
由于sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，
故B不正確．
由于cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它小于sinα+sinβ，
故C錯誤．
由于cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，
故D錯誤．
故選：A．

點評 本題主要考查兩角和的正弦、余弦公式的應(yīng)用，以及利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．