Question

4．.已知f（x）=x²-2mx+2，
（1）如果對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可；（2）設(shè)F（x）=x²-2mx+2-m，通過討論m的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2mx+2，
如果對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
則△=4m²-8＜0，解得，-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)F（x）=x²-2mx+2-m，則當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）≥0恒成立
當(dāng)△=4（m-1）（m+2）＜0即-2＜m＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＞0顯然成立；
當(dāng)△≥0時(shí)，如圖所示：
F（x）≥0恒成立的充要條件為：$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ F（-1）≥0\\-\frac{-2m}{2}≤-1\end{array}\right.$，解得-3≤m≤-2．
綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．