Question

設F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，若以點F為圓心半徑為1的圓與拋物線C有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若點A是拋物線C上任意一點（異于頂點），直線l與拋物線C相切于點A，l與x軸交于點M，B是點A在拋物線C的準線上的射影．證明：存在常數(shù)λ，使得

MF

+

MB

=λ

MA

恒成立．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出F（

p

2

，0），圓與拋物線有且僅有一個公共點原點，再由圓的圓心為F，半徑為1能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，A（x₀，y₀），x₀≠0，由

y=kx+m y2=4x

，得ky²-4y+4m=0，由△=0，解得km=1，A（

1

k2

，

2

k

），由此能證明存在λ=1，使得

MF

+

MB

=λ

MA

恒成立．

解答： （Ⅰ）解：由題意知F（

p

2

，0），
∵圓與拋物線均關于x軸對稱，
∴圓與拋物線有且僅有一個公共點，即為原點，
∵圓的圓心為F，半徑為1，∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）證明：由題意知直線l的存在且不為0，
設直線l：y=kx+m，A（x₀，y₀），x₀≠0，
由

y=kx+m y2=4x

，得ky²-4y+4m=0，
△=16-16km=0，解得km=1，
∴y0=

2

k

，x0=

1

k2

，即A（

1

k2

，

2

k

），
由題意知M（-

m

k

，0），即（-

1

k2

，0），B（-1，

2

k

），
∴

MF

+

MB

=(1+

1

k2

，0)=(-1+

1

k2

，

2

k

)=（

1

k2

，

2

k

），

MA

=(

1

k2

，

2

k

)，
∴存在λ=1，使得

MF

+

MB

=λ

MA

恒成立．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查存在常數(shù)λ，使得

MF

+

MB

=λ

MA

恒成立的證明，解題時要認真審題，注意根的判斷式的合理運用．