Question

若存在實數(shù)x₀與正數(shù)a，使x₀+a，x₀-a均在函數(shù)f（x）的定義域內，且f（x₀+a）=f（x₀-a）成立，則稱“函數(shù)f（x）在x=x₀處存在長度為a的對稱點”．
（1）設f（x）=x³-3x²+2x-1，問是否存在正數(shù)a，使“函數(shù)f（x）在x=1處存在長度為a的對稱點”？試說明理由．
（2）設g（x）=x+

b

x

（x＞0），若對于任意x₀∈（3，4），總存在正數(shù)a，使得“函數(shù)g（x）在x=x₀處存在長度為a的對稱點”，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由f（1+a）=f（1-a）得（1+a）³-3（1+a）²+2（1+a）-1=（1-a）³-3（1-a）²+2（1-a）-1，化簡即可求出正數(shù)a；
（2）令g（x）=c，則x+

b

x

=c，即x²-cx+b=0必須有兩正根，且兩根的算術平均數(shù)為x₀，即可求b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（1+a）=f（1-a），
∴（1+a）³-3（1+a）²+2（1+a）-1=（1-a）³-3（1-a）²+2（1-a）-1，
∴a（a+1）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1；
（2）令g（x）=c，則x+

b

x

=c，即x²-cx+b=0（*）．
由題意，方程（*）必須有兩正根，且兩根的算術平均數(shù)為x₀，
∴c＞0，b＞0，c²-4b＞0，

c

2

=x₀，
∴0＜b＜x₀²對一切意x₀∈（3，4）均成立，
∴b的取值范圍為（0，9]．

點評：本題考查新定義，考查函數(shù)的性質，考查學生的計算能力，正確理解新定義是關鍵．