Question

（本小題16分）

已知函數(shù)且

   （I）試用含的代數(shù)式表示；

   （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

 （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)．

Answer 1

（本小題16分）

已知函數(shù)且

   （I）試用含的代數(shù)式表示；

   （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

   （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；

解法一:

依題意,得 ,--------------------------------------------------2分

故.------------------------------------------------------------------------------------4分

 由得,

故,

令,則或,--------------------------------------------------6分

當(dāng)時, ,

當(dāng)變化時, 與 的變化如下表:

	(,)	(,)	(, )
	+	-	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,)和(, ),單調(diào)減區(qū)間為(,).

當(dāng)時, .此時恒成立,且僅在處,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

當(dāng)時, ,同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為.--------------------------------------------------9分

綜上:當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,)和(, ),單調(diào)減區(qū)間為(,);當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為; 當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為.-------------------------------10分

(Ⅲ)當(dāng)時,得

由,得,.

由(Ⅱ)得單調(diào)區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為,所以函數(shù)在,處取得極值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直線的方程為，

由，得-------------------------------14分

令.

易得，.而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分

解法二:

(I)同解法一

(II)同解法一

(Ⅲ) 當(dāng)時,得,由,得,.

由(Ⅱ)得單調(diào)區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為,所以函數(shù)在,處取得極值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直線的方程為，

由，得-------------------------------14分

解得:, , .

∴, , .

所以線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn).--------------16分