Question

8．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點(diǎn)；
②在平面內(nèi)，設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線離心率；
④過(guò)雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線與A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有3條．
其中真命題的序號(hào)為①④．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷①；根據(jù)橢圓的定義判斷②；根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率的范圍判斷③；過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)可分為兩種情況，一種是兩點(diǎn)都在右支上，一種是與左右兩支各有一交點(diǎn)，分別確定兩種情況各有幾條直線滿足條件即可判斷④

解答 解：對(duì)于①：雙曲線c²=a²+b²=25，橢圓c²=a²-b²=25，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)都是（±5，0），故①正確；
對(duì)于②：根據(jù)橢圓定義，只有k＞|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才是橢圓，故②不正確；
對(duì)于③：方程2x²-x+1=0的兩根${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=1$，而雙曲線的離心率e＞1，故③不正確；
對(duì)于④：過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)可分為兩種情況，一種是兩點(diǎn)都在右支上，一種是與左右兩支各有一交點(diǎn)．
由雙曲線的方程可知，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，則與雙曲線相交于左右兩支，且|AB|=4的直線有2條；
若直線l過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x=$\sqrt{3}$，A（$\sqrt{3}$，-2），B（$\sqrt{3}$，2），則|AB|=4，故與右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線只有一條．
綜上可知，滿足條件的直線共有3條，故④正確
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，考查橢圓和雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題，解題時(shí)要準(zhǔn)確理解概念，一些常見(jiàn)的結(jié)論需要牢記，只有這樣解題時(shí)才能快速準(zhǔn)確．