Question

19．設(shè)集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈A}\\{lo{g}_{2}（2-x），x∈B}\end{array}\right.$，若f（x₀）∈A，則x₀的取值范圍是（2-$\sqrt{2}$，1]；若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，則x₀的取值范圍是（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 結(jié)合已知中集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈A}\\{lo{g}_{2}（2-x），x∈B}\end{array}\right.$，分類(lèi)討論，分別求出滿足f（x₀）∈A和f[f（x₀）]∈A的x₀的范圍，可得答案．

解答 解：當(dāng)x₀∈A=[0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x₀）∈[$\frac{1}{2}$，1），
不存在滿足f（x₀）∈A的x₀值；
當(dāng)x₀∈B=[$\frac{1}{2}$，1]，時(shí)，f（x₀）∈[0，log₂$\frac{3}{2}$]，
由f（x₀）∈A=[0，$\frac{1}{2}$）得：x₀∈（2-$\sqrt{2}$，1]，
綜上可得：x₀的取值范圍是（2-$\sqrt{2}$，1]，
由f[f（x₀）]∈A=[0，$\frac{1}{2}$）得：f（x₀）∈（2-$\sqrt{2}$，1]，
又由x₀∈A=[0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f（x₀）∈[$\frac{1}{2}$，1），可得：x₀∈（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（2-$\sqrt{2}$，1]，（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)和圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．