Question

列三角形數表
       1-----------第一行
     2   2-----------第二行
   3   4    3-----------第三行
  4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5
…
假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次寫出第六行的所有數字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式；
（3）設a_nb_n=1，求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,歸納推理

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（I）根據三角形數表，兩側數為從1開始的自然數列，中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和的規(guī)律寫出來．
（II）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得數列的通項，利用裂項法求和，即可證得結論．

解答： （Ⅰ）解：第六行的所有6個數字分別是6，16，25，25，16，6；
（Ⅱ）解：依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+3+…+（n-1）=2+

(n-2)(n+1)

2

，
∴a_n=

1

2

n²-

1

2

n+1；
（Ⅲ）證明：∵a_nb_n=1，∴b_n=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴b₂+b₃+…+b_n=2[（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=2（1-

1

n

）＜2．

點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，考查裂項法的運用，屬于中檔題．