Question

若x=

π

6

是函數(shù)f(x)=

3

sinωx+cosωx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)ω取最小正數(shù)時(shí)（　　）

• A．f（x）在(-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  )單調(diào)遞減
• B．f（x）在(

  π

  6

  ，

  π

  3

  )單調(diào)遞增
• C．f（x）在(-

  π

  6

  ，0)單調(diào)遞減
• D．f（x）在(0，

  π

  6

  )單調(diào)遞增

Answer 1

分析：利用輔助角公式，將函數(shù)合并為f（x）=2sin（ωx+

π

6

），根據(jù)正弦曲線對(duì)稱(chēng)軸方程的公式，結(jié)合題意得ω=2+6kπ，從而得到ω的最小正數(shù)值為2，得到函數(shù)的表達(dá)式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得到它的單調(diào)區(qū)間，對(duì)照各選項(xiàng)可得正確答案．

解答：解：f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

）
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程：ωx+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z）
∵x=

π

6

是f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，
∴ω

π

6

+

π

6

=

π

2

+2kπ，得ω=2+6kπ，（k∈Z）
當(dāng)k=0時(shí)，ω取最小正數(shù)2，此時(shí)f（x）=（2x+

π

6

）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ），單調(diào)減區(qū)間為（

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ）
對(duì)照ABCD各選項(xiàng)，可知只有D符合題意
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求ω取最小正值時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．